Calcolo Esempi

$x^{2} y - 5 y = 12$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - 5 y) = \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y - 5 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Passaggio 2.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 y$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x - 5 y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y'$

Passaggio 3

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x^{2} y' + 2 x y - 5 y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' - 5 y' = - 2 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $x^{2} y' - 5 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} - 5 y' = - 2 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- 5 y'$ .

$y' x^{2} + y' \cdot - 5 = - 2 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' x^{2} + y' \cdot - 5$ .

$y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x^{2} - 5$ ciascun termine in $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x^{2} - 5$ ciascun termine in $y' (x^{2} - 5) = - 2 x y$ .

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} - 5)}{x^{2} - 5} = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{x^{2} - 5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{x^{2} - 5}$