Calcolo Esempi

$\int \cos^{3} (x) d x$

Passaggio 1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{3} (x)$ .

$\int \cos (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (x)$ e $d v = \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (- \sin (x)) d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\cos (x) (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

Passaggio 4.2

$\frac{1}{4}$ e $\sin (2 x)$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x)) (\sin (x)) d x$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x)) \sin (x) d x$

Passaggio 4.4

$\frac{1}{4}$ e $\sin (2 x)$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) - - \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + 1 \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$ per $1$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) \sin (x) d x$

Passaggio 4.5.3

Riordina $\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ e $\sin (x)$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \int \sin (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) d x$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (x)$ e $d v = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

Passaggio 6.2

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{8}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{4}$ e $x^{2}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{8} \cos (2 x)) \cos (x) d x$

Passaggio 6.4

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{8}$ .

$\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) - \int (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8}) \cos (x) d x$

Passaggio 7

Risolvendo $\int \cos^{3} (x) d x$ , troviamo che $\int \cos^{3} (x) d x$ = $\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Riscrivi $\frac{\cos (x) (\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + \sin (x) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x)}{8})}{2} + C$ come $\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$ .

$\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

Passaggio 8.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $\frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{2} + C$

Passaggio 8.1.2.2

Combina.

$\frac{4 (\frac{\cos (x) x}{2} + \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + \frac{\sin (x) x^{2}}{4} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (2) \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2 \frac{\cos (x) x}{2} + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\cos (x) x) + 4 \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{4} + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + 4 \frac{\sin (x) x^{2}}{4} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (\cos (x) x) + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + 4 (- \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8})}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - 4 \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.8

$- 4$ e $\frac{\cos (2 x) \sin (x)}{8}$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- 4 (\cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.9

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.9.1

Scomponi $4$ da $- 4 \cos (2 x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{8}}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.9.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 (2)}}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{4 (- \cos (2 x) \sin (x))}{4 \cdot 2}}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} + \frac{- \cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 8.1.2.11

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

Passaggio 8.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.3.1

Riordina i fattori in $\frac{2 \cos (x) x + \cos (x) \sin (2 x) + \sin (x) x^{2} - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8}$ .

$\frac{2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\cos (2 x) \sin (x)}{2}}{8} + C$

Passaggio 8.1.3.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$

Passaggio 8.2

Riscrivi $\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (2 x) \sin (x)) + C$ come $\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$ .

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{2}) + C$

Passaggio 8.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{8} (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (2 x) + x^{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \sin (x) \cos (2 x)) + C$