Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x^{- 3} + 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{5}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.4

$- 2$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$\frac{- 10}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.6

$\frac{- 10}{2}$ e $x$ .

$\frac{- 10 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Scomponi $2$ da $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 5 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 5 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5 x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.2.7.2.4

Dividi $- 5 x$ per $1$ .

$- 5 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{- 3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{2} x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$- 5 x - \frac{3}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 5 x + 3 (\frac{3}{2}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.3.4

$3$ e $\frac{3}{2}$ .

$- 5 x + \frac{3 \cdot 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.3.6

$\frac{9}{2}$ e $x^{- 4}$ .

$- 5 x + \frac{9 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.3.7

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 2 (3 x^{2})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 5 x + \frac{9}{2 x^{4}} + 6 x^{2}$

Passaggio 1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = 6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 5 x + \frac{9}{2 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$12 x - 5 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{9}{2 x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $\frac{9}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{2 x^{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Passaggio 2.4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Passaggio 2.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Passaggio 2.4.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$12 x - 5 + \frac{9}{2} (- 4 x^{- 5})$

Passaggio 2.4.8

$- 4$ e $\frac{9}{2}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 4 \cdot 9}{2} x^{- 5}$

Passaggio 2.4.9

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2} x^{- 5}$

Passaggio 2.4.10

$\frac{- 36}{2}$ e $x^{- 5}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36 x^{- 5}}{2}$

Passaggio 2.4.11

Sposta $x^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x - 5 + \frac{- 36}{2 x^{5}}$

Passaggio 2.4.12

Elimina il fattore comune di $- 36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.1

Scomponi $2$ da $- 36$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Passaggio 2.4.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.12.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{5}$ .

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (x^{5})}$

Passaggio 2.4.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$12 x - 5 + \frac{2 \cdot - 18}{2 x^{5}}$

Passaggio 2.4.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$12 x - 5 + \frac{- 18}{x^{5}}$

Passaggio 2.4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$12 x - 5 - \frac{18}{x^{5}}$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$f'' (x) = 12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$ .

$12 x - \frac{18}{x^{5}} - 5$