Calcolo Esempi

Trovare il Valore Massimo/Minimo y=-x^4+9x^2-20
Passaggio 1
Trova la derivata prima della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.4
Differenzia usando la regola della costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.4.2
Somma e .
Passaggio 2
Trova la derivata seconda della funzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 2.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 2.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 2.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 3
Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a e risolvi.
Passaggio 4
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.1
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.2.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.2.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.2.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.3
Calcola .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.3.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.3.2
Differenzia usando la regola della potenza secondo cui è dove .
Passaggio 4.1.3.3
Moltiplica per .
Passaggio 4.1.4
Differenzia usando la regola della costante.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1.4.1
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 4.1.4.2
Somma e .
Passaggio 4.2
La derivata prima di rispetto a è .
Passaggio 5
Poni la derivata prima uguale a quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Poni la derivata prima uguale a .
Passaggio 5.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.2
Scomponi da .
Passaggio 5.2.3
Scomponi da .
Passaggio 5.3
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 5.4
Imposta uguale a .
Passaggio 5.5
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.1
Imposta uguale a .
Passaggio 5.5.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 5.5.2.2
Dividi per ciascun termine in e semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.2.1
Dividi per ciascun termine in .
Passaggio 5.5.2.2.2
Semplifica il lato sinistro.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.2.2.1
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.2.2.1.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.5.2.2.2.1.2
Dividi per .
Passaggio 5.5.2.3
Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.
Passaggio 5.5.2.4
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.4.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.5.2.4.2
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.4.2.1
Riscrivi come .
Passaggio 5.5.2.4.2.2
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 5.5.2.4.3
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.2.4.4
Combina e semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.4.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.5.2.4.4.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.5.2.4.4.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.5.2.4.4.4
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 5.5.2.4.4.5
Somma e .
Passaggio 5.5.2.4.4.6
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.4.4.6.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 5.5.2.4.4.6.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 5.5.2.4.4.6.3
e .
Passaggio 5.5.2.4.4.6.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.4.4.6.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.5.2.4.4.6.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.5.2.4.4.6.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 5.5.2.5
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.5.2.5.1
Per prima cosa, usa il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 5.5.2.5.2
Ora, usa il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 5.5.2.5.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 5.6
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 6
Trova i valori per cui la derivata è indefinita.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.
Passaggio 7
Punti critici da calcolare.
Passaggio 8
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 9
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 9.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 9.2
Somma e .
Passaggio 10
è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un minimo locale
Passaggio 11
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 11.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.1.1
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.1.3
Elevando a qualsiasi potenza positiva si ottiene .
Passaggio 11.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 11.2.2
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.2.2.1
Somma e .
Passaggio 11.2.2.2
Sottrai da .
Passaggio 11.2.3
La risposta finale è .
Passaggio 12
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 13
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 13.1.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 13.1.2
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.2.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.2.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 13.1.2.2.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 13.1.2.2.3
e .
Passaggio 13.1.2.2.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.2.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.2.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.2.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 13.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 13.1.5
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 13.1.5.1
Scomponi da .
Passaggio 13.1.5.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 13.1.5.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 13.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 13.2
Somma e .
Passaggio 14
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 15
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 15.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.1
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.1.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.1.2
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.1.2.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.2.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 15.2.1.2.2.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 15.2.1.2.2.3
e .
Passaggio 15.2.1.2.2.4
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.2.2.4.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.1.2.2.4.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.2.2.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.1.2.2.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.1.2.2.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.1.2.2.4.2.4
Dividi per .
Passaggio 15.2.1.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.1.5
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.5.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.1.5.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.1.5.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.1.5.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.1.6
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.6.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.1.6.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 15.2.1.7
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.7.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.1.7.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.7.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 15.2.1.7.2.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 15.2.1.7.2.3
e .
Passaggio 15.2.1.7.2.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.7.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.1.7.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.1.7.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 15.2.1.8
Eleva alla potenza di .
Passaggio 15.2.1.9
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.1.10
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.10.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.1.10.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.10.2.1
Scomponi da .
Passaggio 15.2.1.10.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 15.2.1.10.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 15.2.1.11
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.1.11.1
e .
Passaggio 15.2.1.11.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.2
Trova il comune denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.2.3
Scrivi come una frazione con denominatore .
Passaggio 15.2.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.2.6
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.3
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 15.2.4
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 15.2.5
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 15.2.5.1
Somma e .
Passaggio 15.2.5.2
Sottrai da .
Passaggio 15.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 16
Calcola la derivata seconda per . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.
Passaggio 17
Calcola la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 17.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 17.1.1
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 17.1.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 17.1.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 17.1.1.3
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 17.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 17.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 17.1.4
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 17.1.4.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 17.1.4.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 17.1.4.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 17.1.4.2.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 17.1.4.2.3
e .
Passaggio 17.1.4.2.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 17.1.4.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 17.1.4.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 17.1.4.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 17.1.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 17.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 17.1.7
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 17.1.7.1
Scomponi da .
Passaggio 17.1.7.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 17.1.7.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 17.1.8
Moltiplica per .
Passaggio 17.2
Somma e .
Passaggio 18
è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.
è un massimo locale
Passaggio 19
Trova il valore di y quando .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 19.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.1
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 19.2.1.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 19.2.1.1.3
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 19.2.1.2
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.2.1
Sposta .
Passaggio 19.2.1.2.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.2.2.2
Usa la regola della potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 19.2.1.2.3
Somma e .
Passaggio 19.2.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.4
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.4.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.4.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.4.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 19.2.1.4.2.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 19.2.1.4.2.3
e .
Passaggio 19.2.1.4.2.4
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.4.2.4.1
Scomponi da .
Passaggio 19.2.1.4.2.4.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.4.2.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 19.2.1.4.2.4.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 19.2.1.4.2.4.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 19.2.1.4.2.4.2.4
Dividi per .
Passaggio 19.2.1.4.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.5
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.6
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.1.7
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.7.1
Scomponi da .
Passaggio 19.2.1.7.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.7.2.1
Scomponi da .
Passaggio 19.2.1.7.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 19.2.1.7.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 19.2.1.8
Usa la regola della potenza per distribuire l'esponente.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.8.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 19.2.1.8.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 19.2.1.8.3
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 19.2.1.9
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.10
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.1.11
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.11.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.11.2
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.11.2.1
Usa per riscrivere come .
Passaggio 19.2.1.11.2.2
Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 19.2.1.11.2.3
e .
Passaggio 19.2.1.11.2.4
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.11.2.4.1
Elimina il fattore comune.
Passaggio 19.2.1.11.2.4.2
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 19.2.1.11.2.5
Calcola l'esponente.
Passaggio 19.2.1.12
Eleva alla potenza di .
Passaggio 19.2.1.13
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.1.14
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.14.1
Scomponi da .
Passaggio 19.2.1.14.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.14.2.1
Scomponi da .
Passaggio 19.2.1.14.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 19.2.1.14.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 19.2.1.15
Moltiplica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.1.15.1
e .
Passaggio 19.2.1.15.2
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.2
Trova il comune denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.2.3
Scrivi come una frazione con denominatore .
Passaggio 19.2.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.2.6
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.3
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 19.2.4
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.4.2
Moltiplica per .
Passaggio 19.2.5
Semplifica aggiungendo e sottraendo.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 19.2.5.1
Somma e .
Passaggio 19.2.5.2
Sottrai da .
Passaggio 19.2.6
La risposta finale è .
Passaggio 20
Questi sono gli estremi locali per .
è un minimo locale
è un massimo locale
è un massimo locale
Passaggio 21