Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2} e^{x}$

Passaggio 1

Semplifica l'argomento del limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} 3 \frac{1}{x^{2}} e^{x}$

Passaggio 1.2

Combina i fattori.

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Passaggio 1.2.1

$3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} e^{x}$

Passaggio 1.2.2

$\frac{3}{x^{2}}$ e $e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Passaggio 3.1.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 3.1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Passaggio 3.1.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x}$

Passaggio 3.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{2}$

Passaggio 4

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $\frac{3}{2}$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 4.1

Considera il limite con il multiplo costante $\frac{3}{2}$ rimosso.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Passaggio 4.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\infty$