Calcolo Esempi

$\int \frac{x - 2}{3 x + 6} d x$

Passaggio 1

Dividi $x - 2$ per $3 x + 6$ .

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$6$

$x$

$2$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			+	$x$	+	$2$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 2$

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$6$		$x$	-	$2$
			-	$x$	-	$2$
					-	$4$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int \frac{1}{3} - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{3} d x + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x + C + \int - \frac{4}{3 x + 6} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x + C - \int \frac{4}{3 x + 6} d x$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x + C - (4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x)$

Passaggio 6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 x + 6} d x$

Passaggio 7

Sia $u = 3 x + 6$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = 3 x + 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $3 x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 6]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 7.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 7.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 7.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 7.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [6]$

Passaggio 7.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 7.1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 7.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Passaggio 8.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{3} x + C - 4 \int \frac{1}{3 u} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x + C - 4 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$\frac{1}{3}$ e $- 4$ .

$\frac{1}{3} x + C + \frac{- 4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 10.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x + C - \frac{4}{3} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| u |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x + 6$ .

$\frac{1}{3} x - \frac{4}{3} \ln (| 3 x + 6 |) + C$