Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Passaggio 1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Passaggio 1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ come ${u_{1}}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ come ${u_{1}}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.2.4.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Passaggio 2.4

$\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Allora $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il limite inferiore a $u_{1}$ in $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Passaggio 4.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci il limite superiore a $u_{1}$ in $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Passaggio 4.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ come ${u_{2}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{2}}$ come ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 5.3

$\frac{u_{2}}{2}$ e $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

Sia $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Allora $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Riscrivi usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Trova $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , la derivata di $- {u_{2}}^{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Passaggio 8.2

Sostituisci il limite inferiore a $u_{2}$ in $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 8.4

Sostituisci il limite superiore a $u_{2}$ in $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 8.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 8.7

Riscrivi il problema usando $u_{3}$ , $d u_{3}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Passaggio 9.2

$e^{u_{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{3}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}))$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{8} \int_{0}^{- 1} e^{u_{3}} d u_{3}$

Passaggio 13

L'integrale di $e^{u_{3}}$ rispetto a $u_{3}$ è $e^{u_{3}}$ .

$- \frac{1}{8} e^{u_{3}}]_{0}^{- 1}$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola $e^{u_{3}}$ per $- 1$ e per $0$ .

$- \frac{1}{8} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 14.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{8} (e^{- 1} - 1)$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{1}{e} - 1)$

Passaggio 15.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Passaggio 15.3

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} - \frac{1}{8} \cdot - 1$

Passaggio 15.4

Moltiplica $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + 1 (\frac{1}{8})$

Passaggio 15.4.2

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 8} + \frac{1}{8}$

Passaggio 15.5

Sposta $8$ alla sinistra di $e$ .

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{8 e} + \frac{1}{8}$

Forma decimale:

$0.07901506 \dots$

Passaggio 17