Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

Passaggio 1

Non è stato possibile completare questo integrale usando l'integrazione per parti. Mathway userà un metodo diverso.

Passaggio 2

Sia $r = 4 \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d r = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{16 + {(4 \tan (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 4^{2} \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $16$ da $16$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 \tan^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $16$ da $16 \tan^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $16$ da $16 (1) + 16 (\tan^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (1 + \tan^{2} (t))}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Rimetti in ordine i termini.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.7

Riscrivi $16 \sec^{2} (t)$ come ${(4 \sec (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $4 \sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $4 \sec (t)$ da $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\int_{0}^{0.24497866} \frac{{(4 \tan (t))}^{3}}{4 \sec (t)} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $4$ da $4 \tan (t)$ .

$\int_{0}^{0.24497866} {(4 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $4 (\tan (t))$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 4^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 3.2.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\int_{0}^{0.24497866} 64 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 4

Poiché $64$ è costante rispetto a $t$ , sposta $64$ fuori dall'integrale.

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Passaggio 5

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 6

Metti in evidenza $\tan^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 7

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Passaggio 8

Semplifica.

$64 \int_{0}^{0.24497866} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Passaggio 9

Sia $u = \sec (t)$ . Allora $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = \sec (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Passaggio 9.1.2

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Passaggio 9.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = \sec (t)$ .

$u_{lower} = \sec (0)$

Passaggio 9.3

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 9.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = \sec (t)$ .

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Passaggio 9.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \sec (0.24497866)$

Passaggio 9.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$64 \int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 + u^{2} d u$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$64 (\int_{1}^{\sec (0.24497866)} - 1 d u + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \int_{1}^{\sec (0.24497866)} u^{2} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$64 (- u]_{1}^{\sec (0.24497866)} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$- u]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ e $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)}$ .

$64 (- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Passaggio 13.2

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$64 (- u + \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{\sec (0.24497866)})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 14.1

Calcola $- u + \frac{u^{3}}{3}$ per $\sec (0.24497866)$ e per $1$ .

$64 ((- \sec (0.24497866) + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Per scrivere $- \sec (0.24497866)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \sec (0.24497866) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.2

$- \sec (0.24497866)$ e $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3}{3} + \frac{\sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$64 (\frac{- \sec (0.24497866) \cdot 3 + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

Passaggio 14.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 14.2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

Passaggio 14.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

Passaggio 14.2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

Passaggio 14.2.10.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - \frac{- 2}{3})$

Passaggio 14.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} - - \frac{2}{3})$

Passaggio 14.2.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 14.2.13

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$64 (\frac{- 3 \sec (0.24497866) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Passaggio 15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 \sec (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) + \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Passaggio 15.2

Scomponi $- 1$ da $\sec^{3} (0.24497866)$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Passaggio 15.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 \sec (0.24497866)) - 1 (- \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Passaggio 15.4

Riscrivi $- (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ come $- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))$ .

$64 (\frac{- 1 (3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866))}{3} + \frac{2}{3})$

Passaggio 15.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$64 (- \frac{3 \sec (0.24497866) - \sec^{3} (0.24497866)}{3} + \frac{2}{3})$

Forma decimale:

$0.06124186 \dots$

Passaggio 17