Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.2.1.4

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{\sin (6 - 6)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}$

Passaggio 1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}$

Passaggio 1.3.3

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{\ln (4 - lim_{x \to 3} x)}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Passaggio 1.3.4.2.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (2 x - 6)}{\ln (4 - x)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x - 6$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.7

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.8

Somma $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\cos (2 x - 6) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.9

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $2$ per $\cos (2 x - 6)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Passaggio 3.11.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Passaggio 3.11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}$

Passaggio 3.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Passaggio 3.13

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Passaggio 3.14

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}$

Passaggio 3.17

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{1}{4 - x} \cdot - 1}$

Passaggio 3.18

$\frac{1}{4 - x}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{\frac{- 1}{4 - x}}$

Passaggio 3.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cos (2 x - 6)}{- \frac{1}{4 - x}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 3} 2 \cos (2 x - 6) (- (4 - x))$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 3} - 2 \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Passaggio 6

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) (4 - x)$

Passaggio 7

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$- 2 lim_{x \to 3} \cos (2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Passaggio 8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Passaggio 9

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$- 2 \cos (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Passaggio 10

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Passaggio 11

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot lim_{x \to 3} 4 - x$

Passaggio 12

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)$

Passaggio 13

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$- 2 \cos (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $3$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - lim_{x \to 3} x)$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$- 2 \cos (2 \cdot 3 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 2 \cos (6 - 1 \cdot 6) \cdot (4 - 3)$

Passaggio 15.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 2 \cos (6 - 6) \cdot (4 - 3)$

Passaggio 15.2

Sottrai $6$ da $6$ .

$- 2 \cos (0) \cdot (4 - 3)$

Passaggio 15.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot (4 - 3)$

Passaggio 15.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \cdot (4 - 3)$

Passaggio 15.5

Sottrai $3$ da $4$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 15.6

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$