Calcolo Esempi

Let $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 18 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} - 18 x + 12$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $6$ da $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) + 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $6$ da $12$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot 2$ .

$6 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$6 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 2, 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$2 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Passaggio 4.1.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2^{1 + 3} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$2^{4} - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 9 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 9 \cdot 4 + 12 (2)$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $4$ .

$16 - 36 + 12 (2)$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $12$ per $2$ .

$16 - 36 + 24$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $36$ da $16$ .

$- 20 + 24$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $- 20$ e $24$ .

$4$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$2 {(1)}^{3} - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \cdot 1 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 9 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 - 9 \cdot 1 + 12 (1)$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$2 - 9 + 12 (1)$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $12$ per $1$ .

$2 - 9 + 12$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $9$ da $2$ .

$- 7 + 12$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 7$ e $12$ .

$5$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(2, 4), (1, 5)$

Passaggio 5