Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} {(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(x + e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (x + e^{x})}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x + e^{x})}$

Passaggio 2.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (x + e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{x})}{x}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.3

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.1.2.5.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Somma $0$ e $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.2.5.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{x})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + e^{x}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} \frac{d}{d x} [x + e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (1 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{x}} (1 + e^{x})}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.3.6.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x + e^{x}} (1 + e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + e^{x}) \frac{1}{x + e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.6.2

Moltiplica $1 + e^{x}$ per $\frac{1}{x + e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}{1}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}} \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + e^{x}}{x + e^{x}}}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Passaggio 4.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Passaggio 4.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1 + lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Passaggio 4.4

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{x}}}$

Passaggio 4.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{x}}}$

Passaggio 4.6

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{\frac{1 + e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Passaggio 5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{0 + e^{lim_{x \to 0} x}}}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$e^{\frac{1 + e^{0}}{0 + e^{0}}}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{\frac{1 + 1}{0 + e^{0}}}$

Passaggio 6.1.2

Somma $1$ e $1$ .

$e^{\frac{2}{0 + e^{0}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 6.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{\frac{2}{0 + 1}}$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$e^{\frac{2}{1}}$

Passaggio 6.3

Dividi $2$ per $1$ .

$e^{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{2}$

Forma decimale:

$7.38905609 \dots$