Calcolo Esempi

$y = \arcsin (\frac{x}{4})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{x}{4}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\arcsin (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot 1$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ per $1$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}}$

Passaggio 3.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$