Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ e $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $20 x^{3} - 24 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 24 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot 4 = 20$ e la cui somma è $b = - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $- 12$ da $- 12 u$ .

$5 u^{2} - 12 u + 4 = 0$

Passaggio 5.3.1.2

Riscrivi $- 12$ come $- 2$ più $- 10$ .

$5 u^{2} + (- 2 - 10) u + 4 = 0$

Passaggio 5.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 u^{2} - 2 u - 10 u + 4 = 0$

Passaggio 5.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(5 u^{2} - 2 u) - 10 u + 4 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (5 u - 2) - 2 (5 u - 2) = 0$

Passaggio 5.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 u - 2$ .

$(5 u - 2) (u - 2) = 0$

Passaggio 5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 u - 2 = 0$

$u - 2 = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $5 u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $5 u - 2$ uguale a $0$ .

$5 u - 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $5 u - 2 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 u = 2$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 u = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 u = 2$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 u}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{2}{5}$

Passaggio 5.6

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 u - 2) (u - 2) = 0$ vera.

$u = \frac{2}{5}, 2$

Passaggio 5.8

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = \frac{2}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 2$

Passaggio 5.9

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = \frac{2}{5}$

Passaggio 5.10

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Passaggio 5.10.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{2}{5}}$ come $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 5.10.2.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 5.10.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 5.10.2.3.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 5.10.2.3.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 5.10.2.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.10.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 5.10.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.10.2.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.10.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.10.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 5.10.2.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 5.10.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.2.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Passaggio 5.10.2.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 5.10.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 5.10.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 5.10.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 5.11

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 2$

Passaggio 5.12

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = 2$

Passaggio 5.12.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 5.12.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.12.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 5.12.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 5.12.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 5.13

La soluzione di $5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 = 0$ è $x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{3}$ come $\sqrt{10^{3}}$ .

$20 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.2.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$20 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.2.3

Riscrivi $1000$ come $10^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.3.1

Scomponi $100$ da $1000$ .

$20 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.2.3.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$20 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$20 \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$5 (4) \frac{10 \sqrt{10}}{125} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.4.2

Scomponi $5$ da $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{10 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.5

$4$ e $\frac{10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (10 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $10$ per $4$ .

$\frac{40 \sqrt{10}}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.7

Elimina il fattore comune di $40$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Scomponi $5$ da $40 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{25} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.2.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.8

$- 24$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{- 24 \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{8 \sqrt{10}}{5} - \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 \sqrt{10} - 24 \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $24 \sqrt{10}$ da $8 \sqrt{10}$ .

$\frac{- 16 \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 9.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 10

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{10}}{5}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{5}$ come $\sqrt{10^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.2.2

Eleva $10$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.2.3

Riscrivi $100000$ come $100^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.3.1

Scomponi $10000$ da $100000$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.2.3.2

Riscrivi $10000$ come $100^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $100$ e $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Scomponi $25$ da $100 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.2.1

Scomponi $25$ da $3125$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{3}$ come $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.6.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.6.3

Riscrivi $1000$ come $10^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.3.1

Scomponi $100$ da $1000$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.6.3.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.6.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.7

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{10 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.8

Elimina il fattore comune di $10$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.8.1

Scomponi $5$ da $10 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.8.2.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.9

Moltiplica $- 4 \frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.9.1

$- 4$ e $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.9.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{- 8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (\frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 11.2.1.11

$4$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- \frac{8 \sqrt{10}}{25}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $125$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $25$ per $5$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10}}{125} - \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 11.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1.1

Moltiplica $5$ per $- 8$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{4 \sqrt{10} - 40 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 11.2.5.1.2

Sottrai $40 \sqrt{10}$ da $4 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 11.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 11.2.6

Per scrivere $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Passaggio 11.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $125$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.7.1

Moltiplica $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ per $\frac{25}{25}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Passaggio 11.2.7.2

Moltiplica $5$ per $25$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{36 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Passaggio 11.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Passaggio 11.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.9.1

Moltiplica $25$ per $4$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 36 \sqrt{10} + 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Passaggio 11.2.9.2

Somma $- 36 \sqrt{10}$ e $100 \sqrt{10}$ .

$f (\frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Passaggio 11.2.10

La risposta finale è $\frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$20 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{3}$ come $\sqrt{10^{3}}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.3.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$20 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.3.3

Riscrivi $1000$ come $10^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.3.1

Scomponi $100$ da $1000$ .

$20 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.3.3.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$20 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.3.4

Estrai i termini dal radicale.

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$20 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{10 \sqrt{10}}{125}$ nel numeratore.

$20 \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.5.2

Scomponi $5$ da $20$ .

$5 (4) \frac{- 10 \sqrt{10}}{125} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.5.3

Scomponi $5$ da $125$ .

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$5 \cdot 4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{5 \cdot 25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{- 10 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.6

$4$ e $\frac{- 10 \sqrt{10}}{25}$ .

$\frac{4 (- 10 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.7

Moltiplica $- 10$ per $4$ .

$\frac{- 40 \sqrt{10}}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.8

Elimina il fattore comune di $- 40$ e $25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.1

Scomponi $5$ da $- 40 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{25} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.2.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 (5)} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 8 \sqrt{10})}{5 \cdot 5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} - 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$

Passaggio 13.1.10

Moltiplica $- 24 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 24$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + 24 \frac{\sqrt{10}}{5}$

Passaggio 13.1.10.2

$24$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$- \frac{8 \sqrt{10}}{5} + \frac{24 \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 13.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 8 \sqrt{10} + 24 \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 8 \sqrt{10}$ e $24 \sqrt{10}$ .

$\frac{16 \sqrt{10}}{5}$

Passaggio 14

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{5} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = {(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}}) - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{{\sqrt{10}}^{5}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{5}$ come $\sqrt{10^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10^{5}}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.3.2

Eleva $10$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100000}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.3.3

Riscrivi $100000$ come $100^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.3.1

Scomponi $10000$ da $100000$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{10000 (10)}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.3.3.2

Riscrivi $10000$ come $100^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{\sqrt{100^{2} \cdot 10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.3.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{5^{5}} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{100 \sqrt{10}}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.5

Elimina il fattore comune di $100$ e $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Scomponi $25$ da $100 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{3125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.2.1

Scomponi $25$ da $3125$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 (125)} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{25 (4 \sqrt{10})}{25 \cdot 125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 {(- \frac{\sqrt{10}}{5})}^{3} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{10}}{5})}^{3}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}})) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{{\sqrt{10}}^{3}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.1

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{3}$ come $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{3}}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.8.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{1000}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.8.3

Riscrivi $1000$ come $10^{2} \cdot 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.3.1

Scomponi $100$ da $1000$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{100 (10)}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.8.3.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{\sqrt{10^{2} \cdot 10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.8.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{5^{3}}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.9

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{10 \sqrt{10}}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.10

Elimina il fattore comune di $10$ e $125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.1

Scomponi $5$ da $10 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{125}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.10.2.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 (25)}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{5 (2 \sqrt{10})}{5 \cdot 25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} - 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.11

Moltiplica $- 4 (- \frac{2 \sqrt{10}}{25})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.11.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + 4 (\frac{2 \sqrt{10}}{25}) + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.11.2

$4$ e $\frac{2 \sqrt{10}}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{4 (2 \sqrt{10})}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.11.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + 4 (- \frac{\sqrt{10}}{5}) - 1$

Passaggio 15.2.1.12

Moltiplica $4 (- \frac{\sqrt{10}}{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - 4 \frac{\sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 15.2.1.12.2

$- 4$ e $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} + \frac{- 4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 15.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10}}{25} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $125$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{8 \sqrt{10}}{25}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{25 \cdot 5} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $25$ per $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{4 \sqrt{10}}{125} + \frac{8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 8 \sqrt{10} \cdot 5}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Moltiplica $5$ per $8$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt{10} + 40 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 15.2.5.2

Somma $- 4 \sqrt{10}$ e $40 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} - 1$

Passaggio 15.2.6

Per scrivere $- \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10}}{5} \cdot \frac{25}{25} - 1$

Passaggio 15.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $125$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.7.1

Moltiplica $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ per $\frac{25}{25}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{5 \cdot 25} - 1$

Passaggio 15.2.7.2

Moltiplica $5$ per $25$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10}}{125} - \frac{4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Passaggio 15.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \cdot 25}{125} - 1$

Passaggio 15.2.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.9.1.1

Moltiplica $25$ per $- 4$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{36 \sqrt{10} - 100 \sqrt{10}}{125} - 1$

Passaggio 15.2.9.1.2

Sottrai $100 \sqrt{10}$ da $36 \sqrt{10}$ .

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = \frac{- 64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Passaggio 15.2.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt{10}}{5}) = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Passaggio 15.2.10

La risposta finale è $- \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$ .

$y = - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {(\sqrt{2})}^{3} - 24 \sqrt{2}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$20 \sqrt{2^{3}} - 24 \sqrt{2}$

Passaggio 17.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$20 \sqrt{8} - 24 \sqrt{2}$

Passaggio 17.1.3

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.3.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$20 \sqrt{4 (2)} - 24 \sqrt{2}$

Passaggio 17.1.3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$20 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 24 \sqrt{2}$

Passaggio 17.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$20 (2 \sqrt{2}) - 24 \sqrt{2}$

Passaggio 17.1.5

Moltiplica $2$ per $20$ .

$40 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

Passaggio 17.2

Sottrai $24 \sqrt{2}$ da $40 \sqrt{2}$ .

$16 \sqrt{2}$

Passaggio 18

$x = \sqrt{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{2}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{5} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{5}$ come $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{5}} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{32} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.3

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.3.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{16 (2)} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.3.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{3} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{3}} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{8} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.7

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{4 (2)} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 (2 \sqrt{2}) + 4 (\sqrt{2}) - 1$

Passaggio 19.2.1.9

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $8 \sqrt{2}$ da $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 1$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $- 4 \sqrt{2}$ e $4 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 0 - 1$

Passaggio 19.2.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (\sqrt{2}) = - 1$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 20

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$20 {(- \sqrt{2})}^{3} - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$20 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$20 (- {\sqrt{2}}^{3}) - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$20 (- \sqrt{2^{3}}) - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$20 (- \sqrt{8}) - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21.1.5

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$20 (- \sqrt{4 (2)}) - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$20 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$20 (- (2 \sqrt{2})) - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21.1.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$20 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21.1.8

Moltiplica $- 2$ per $20$ .

$- 40 \sqrt{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Passaggio 21.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 24$ .

$- 40 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

Passaggio 21.2

Somma $- 40 \sqrt{2}$ e $24 \sqrt{2}$ .

$- 16 \sqrt{2}$

Passaggio 22

$x = - \sqrt{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{2}$ è un massimo locale

Passaggio 23

Trova il valore di y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{5} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{5}$ come $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{5}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{32} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.5

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1.5.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{16 (2)} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.5.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4^{2} \cdot 2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \sqrt{2}) = - (4 \sqrt{2}) - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.8

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.9

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{3}}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{8}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.12

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1.12.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{4 (2)}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.12.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.13

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- (2 \sqrt{2})) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} - 4 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.15

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 (- \sqrt{2}) - 1$

Passaggio 23.2.1.16

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Passaggio 23.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.2.1

Somma $- 4 \sqrt{2}$ e $8 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 1$

Passaggio 23.2.2.2

Sottrai $4 \sqrt{2}$ da $4 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 - 1$

Passaggio 23.2.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 1$

Passaggio 23.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 24

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 4 x - 1$ .

$(\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ è un massimo locale

$(- \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{64 \sqrt{10}}{125} - 1)$ è un minimo locale

$(\sqrt{2}, - 1)$ è un minimo locale

$(- \sqrt{2}, - 1)$ è un massimo locale

Passaggio 25