Calcolo Esempi

${(e^{x} + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(e^{x} + 1)}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(e^{x} + 1)}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(e^{x} + 1)}^{2}$ come $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ .

$\int (e^{x} + 1) (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(e^{x} + 1) (e^{x} + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} (e^{x} + 1) + 1 (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{x} + 1) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int e^{x + x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.3.1.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + 1 e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 \cdot 1 d x$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int e^{2 x} + e^{x} + e^{x} + 1 d x$

Passaggio 4.3.2

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\int e^{2 x} + 2 e^{x} + 1 d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{2 x} d x + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Passaggio 6

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Passaggio 7

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{x} d x + \int d x$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{x} d x + \int d x$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + \int d x$

Passaggio 12

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{x} + C) + x + C$

Passaggio 13

Semplifica.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{x} + x + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^{x} + x + C$