Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x^{2} + 3}{x^{3} - 2 x^{2} + x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x}$

Passaggio 1.1.1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x^{1}}$

Passaggio 1.1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.1.6

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 x + 1)}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 x + 1^{2})}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{2 x^{2} + 3}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 3}{x {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 3) (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x^{2} + 3) (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 x^{2} + 3) ({(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x^{2} + 3) {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.6.2

Dividi $2 x^{2} + 3$ per $1$ .

$2 x^{2} + 3 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 3 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.1.2

Dividi $A ({(x - 1)}^{2})$ per $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A ({(x - 1)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.2

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} + 3 = A ((x - 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.3

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 3 = A (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 3 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 3 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.4.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.4.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.4.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - x - x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.4.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$2 x^{2} + 3 = A (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.6.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.6.2

Moltiplica $A$ per $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.7

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.7.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{B (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.7.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.8

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ e $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.8.1

Scomponi $x - 1$ da $(C) (x {(x - 1)}^{2})$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{x - 1}$

Passaggio 1.1.7.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.8.2.1

Moltiplica per $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.7.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

Passaggio 1.1.7.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{C (x (x - 1))}{1}$

Passaggio 1.1.7.8.2.4

Dividi $C (x (x - 1))$ per $1$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x (x - 1))$

Passaggio 1.1.7.9

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.7.10

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

Passaggio 1.1.7.11

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

Passaggio 1.1.7.12

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - x)$

Passaggio 1.1.7.13

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} + C (- x)$

Passaggio 1.1.7.14

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} - C x$

Passaggio 1.1.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Sposta $A$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

Passaggio 1.1.8.2

Riordina $B$ e $x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

Passaggio 1.1.8.3

Sposta $A$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x + C x^{2} - C x + A$

Passaggio 1.1.8.4

Sposta $B x$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} - 2 x A + C x^{2} + B x - C x + A$

Passaggio 1.1.8.5

Sposta $- 2 x A$ .

$2 x^{2} + 3 = A x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - C x + A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = A$

Passaggio 1.2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$3 = A$

$2 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$3 = A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 3$ .

$A = 3$

$2 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $3$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $2 = A + C$ con $3$ .

$2 = (3) + C$

$A = 3$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 2 A + B - 1 C$ con $3$ .

$0 = - 2 \cdot 3 + B - 1 C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$0 = - 6 + B - 1 C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

Passaggio 1.3.2.4.1.2

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

$0 = - 6 + B - C$

$2 = 3 + C$

$A = 3$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $C$ in $2 = 3 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $3 + C = 2$ .

$3 + C = 2$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 2 - 3$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$C = - 1$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

$C = - 1$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

$C = - 1$

$0 = - 6 + B - C$

$A = 3$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $0 = - 6 + B - C$ con $- 1$ .

$0 = - 6 + B - (- 1)$

$C = - 1$

$A = 3$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $- 6 + B - (- 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 = - 6 + B + 1$

$C = - 1$

$A = 3$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Somma $- 6$ e $1$ .

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$0 = B - 5$

$C = - 1$

$A = 3$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $B$ in $0 = B - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $B - 5 = 0$ .

$B - 5 = 0$

$C = - 1$

$A = 3$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 5$

$C = - 1$

$A = 3$

$B = 5$

$C = - 1$

$A = 3$

Passaggio 1.3.6

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 5 C = - 1 A = 3$

Passaggio 1.3.7

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 5, C = - 1, A = 3$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{3}{x} + \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 7

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 7.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = x - 1$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 10.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 10.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 10.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 10.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 11

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

$3 \ln (| x |) - \frac{5}{u_{1}} - \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 13

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$3 \ln (| x |) - \frac{5}{x - 1} - \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 13.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$3 \ln (| x |) - \frac{5}{x - 1} - \ln (| x - 1 |) + C$