Calcolo Esempi

$\int_{0}^{2} π {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Passaggio 1

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , sposta $π$ fuori dall'integrale.

$π \int_{0}^{2} {(4 - 2 x)}^{2} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 4 - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 4 - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 2 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 4 - 2 x$ .

$u_{lower} = 4 - 2 \cdot 0$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $4$ e $0$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 4 - 2 x$ .

$u_{upper} = 4 - 2 \cdot 2$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$π \int_{4}^{0} u^{2} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$π \int_{4}^{0} u^{2} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 3.2

$u^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{u^{2}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{u^{2}}{2} d u)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$π (- (\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Passaggio 6

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{π}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $\frac{1}{3} u^{3}$ per $0$ e per $4$ .

$- \frac{π}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{π}{2} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $0$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Passaggio 8.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$- \frac{π}{2} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Passaggio 8.2.5

$- 64$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{π}{2} (0 + \frac{- 64}{3})$

Passaggio 8.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{π}{2} (0 - \frac{64}{3})$

Passaggio 8.2.7

Sottrai $\frac{64}{3}$ da $0$ .

$- \frac{π}{2} (- \frac{64}{3})$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{π}{2} \frac{64}{3}$

Passaggio 8.2.9

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{64}{3}$ .

$\frac{π \cdot 64}{2 \cdot 3}$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{π \cdot 64}{6}$

Passaggio 8.2.12

Sposta $64$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{64 \cdot π}{6}$

Passaggio 8.2.13

Elimina il fattore comune di $64$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.13.1

Scomponi $2$ da $64 π$ .

$\frac{2 (32 π)}{6}$

Passaggio 8.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.13.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (32 π)}{2 (3)}$

Passaggio 8.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (32 π)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 8.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{32 π}{3}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{32 π}{3}$

Forma decimale:

$33.51032163 \dots$

Passaggio 10