Calcolo Esempi

$\ln (e^{3 x} + x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = e^{3 x} + x$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{3 x} + x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $e^{3 x} + x$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + x]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{3 x} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{e^{3 x} + x} (3 e^{3 x} + 1)$ .

$(3 e^{3 x} + 1) \frac{1}{e^{3 x} + x}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $3 e^{3 x} + 1$ per $\frac{1}{e^{3 x} + x}$ .

$\frac{3 e^{3 x} + 1}{e^{3 x} + x}$