Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} x \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x)$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x)$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x)$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x)$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{1}^{e} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ per $e$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}$

Passaggio 6.2

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $e$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (e) e^{2}}{2}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{2}}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\ln (1)$ per $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} ((\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.5

$\frac{1}{2}$ e $e^{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Passaggio 6.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{\ln (1)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 6.8

Semplifica.

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Passaggio 6.8.1

Per scrivere $- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 6.8.2

$- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 6.8.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (e) e^{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 6.8.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 6.8.5

$- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 6.8.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.6.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 6.8.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 6.8.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 6.8.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (e) e^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 6.8.6.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (e) e^{2} - (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2})}{2} - \frac{\ln (1)}{2}$

Forma decimale:

$2.09726402 \dots$