Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (x^{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

Passaggio 1.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2}) x$

Passaggio 1.2.2.2

Riordina i fattori di $- 2 \sin (x^{2}) x$ .

$f' (x) = - 2 x \sin (x^{2})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x \sin (x^{2})$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- 2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$- 2 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x^{2})$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $\sin (x^{2})$ per $1$ .

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Passaggio 2.11

Semplifica.

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Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) - 2 \sin (x^{2})$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$ .

$- 4 x^{2} \cos (x^{2}) - 2 \sin (x^{2})$