Calcolo Esempi

$2 y^{3} + 4 x^{2} - y = x^{6}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (2 y^{3} + 4 x^{2} - y) = \frac{d}{d y} (x^{6})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y^{3} + 4 x^{2} - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y^{3}$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 y^{2} + \frac{d}{d y} [4 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} + 4 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$6 y^{2} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 y^{2} + 4 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$6 y^{2} + 4 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$6 y^{2} + 4 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$6 y^{2} + 8 x x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$6 y^{2} + 8 x x' - 1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{6}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$6 x^{5} \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$6 x^{5} x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 = 6 x^{5} x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $6 x^{5} x'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 y^{2} + 8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $6 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x x' - 1 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 x x' - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $2 x x'$ da $8 x x' - 6 x^{5} x'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $2 x x'$ da $8 x x'$ .

$2 x x' \cdot 4 - 6 x^{5} x' = - 6 y^{2} + 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $2 x x'$ da $- 6 x^{5} x'$ .

$2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $2 x x'$ da $2 x x' \cdot 4 + 2 x x' (- 3 x^{4})$ .

$2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $2 x (4 - 3 x^{4})$ ciascun termine in $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $2 x (4 - 3 x^{4})$ ciascun termine in $2 x x' (4 - 3 x^{4}) = - 6 y^{2} + 1$ .

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x x' (4 - 3 x^{4})}{2 x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x x' (4 - 3 x^{4})}{x (4 - 3 x^{4})} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $4 - 3 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (4 - 3 x^{4})}{4 - 3 x^{4}} = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{2}}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

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Passaggio 5.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 6 y^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (4 - 3 x^{4})$ .

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x' = \frac{2 (- 3 y^{2})}{2 (x (4 - 3 x^{4}))} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{3 y^{2}}{x (4 - 3 x^{4})} + \frac{1}{2 x (4 - 3 x^{4})}$