Calcolo Esempi

$- y^{3} - 4 x^{2} = - 4 x^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} - 4 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- y^{3} - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' - 4 (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 3 y^{2} y' - 8 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2})$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$- 12 x^{2}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 3 y^{2} y' - 8 x = - 12 x^{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $8 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 3 y^{2}$ ciascun termine in $- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 3 y^{2}$ ciascun termine in $- 3 y^{2} y' = - 12 x^{2} + 8 x$ .

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 y^{2} y'}{- 3 y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $- 3$ .

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Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.3.1.1.2.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 (y^{2})} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 3 (4 x^{2})}{- 3 y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} + \frac{8 x}{- 3 y^{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{2}}{y^{2}} - \frac{8 x}{3 y^{2}}$