Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - 1}{5 x + 2})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{2} - 1$ e $g (x) = 5 x + 2$ .

$\frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(5 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(5 x + 2) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{(5 x + 2) (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.6.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{(5 x + 2) (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $5 x + 2$ .

$\frac{4 \cdot (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.12.1

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - (2 x^{2} - 1) \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{4 (5 x + 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 (5 x) + 4 \cdot 2) x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2} - 1)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (5 x) x + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 (5 (x \cdot x)) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 (5 x^{2}) + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 2 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.4

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} - 5 \cdot - 1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.1.5

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{20 x^{2} + 8 x - 10 x^{2} + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Sottrai $10 x^{2}$ da $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{2} + 8 x + 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$