Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $x^{2} + 2 x - 3$ e $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 2 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $2 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $x^{2} + 2 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 2 x - 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} + 2 x - 3$ .

$x^{2} + 2 x - 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{2} + 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 5.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 1, - 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 1, - 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 (1) + 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2$

Passaggio 9.2

Somma $2$ e $2$ .

$4$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 8$

Passaggio 11.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 \cdot 1 - 8$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 8$

Passaggio 11.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 3 - 8$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3 - 8$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 3 - 8$

Passaggio 11.2.2.4

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} - 8$

Passaggio 11.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3} - 8$

Passaggio 11.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} - 8$

Passaggio 11.2.2.7

Scrivi $- 8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1}$

Passaggio 11.2.2.8

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 11.2.2.9

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 3 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 8 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 9 - 24}{3}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Somma $1$ e $3$ .

$f (1) = \frac{4 - 9 - 24}{3}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $9$ da $4$ .

$f (1) = \frac{- 5 - 24}{3}$

Passaggio 11.2.5.3

Sottrai $24$ da $- 5$ .

$f (1) = \frac{- 29}{3}$

Passaggio 11.2.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (1) = - \frac{29}{3}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $- \frac{29}{3}$ .

$y = - \frac{29}{3}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 (- 3) + 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6 + 2$

Passaggio 13.2

Somma $- 6$ e $2$ .

$- 4$

Passaggio 14

$x = - 3$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 3$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot - 27 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Passaggio 15.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 27$ .

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 9)) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Passaggio 15.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 9) + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Passaggio 15.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 - 8$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 - 3 \cdot - 3 - 8$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 + 9 - 8$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 9$ e $9$ .

$f (- 3) = 0 + 9 - 8$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $0$ e $9$ .

$f (- 3) = 9 - 8$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $8$ da $9$ .

$f (- 3) = 1$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x - 8$ .

$(1, - \frac{29}{3})$ è un minimo locale

$(- 3, 1)$ è un massimo locale

Passaggio 17