Calcolo Esempi

$\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + 2 x}$ come ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1] - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 2 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 2 x$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 9.3

Sposta ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 10

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 12

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 13

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$2$ e $\frac{1}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 16

Moltiplica $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 17

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Somma $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{x \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 18.2

$x$ e $\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 19

Moltiplica $\frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ per $\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 20

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Combina.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.3

Elimina il fattore comune di ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 20.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 21

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 22

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - 1))}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - - 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.4

Moltiplica ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.5.1

Moltiplica ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.5.1.1

Sposta ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - ({(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.5.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{2}} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.5.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x - {(1 + 2 x)}^{1} + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.5.2

Semplifica $- {(1 + 2 x)}^{1}$ .

$\frac{x - (1 + 2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 1 \cdot 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 1 - (2 x) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.5.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x - 1 - 2 x + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.2.6

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 23.3

Riordina i termini.

$\frac{- x - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.4

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 1 + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.6

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) + {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.7

Scomponi $- 1$ da ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.8

Scomponi $- 1$ da $- (x + 1) - 1 (- {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.9

Riscrivi $- (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ come $- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{- 1 (x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x + 1 - {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$