Calcolo Esempi

$x \log (x)$

Passaggio 1

Scrivi $x \log (x)$ come funzione.

$f (x) = x \log (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x \log (x) d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \log (x)$ e $d v = x$ .

$\log (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\log (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Passaggio 5.2

$\log (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (10)} d x)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (10)} d x)$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

Passaggio 7.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $x$ da $x \ln (10)$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))} d x)$

Passaggio 7.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (10)} d x)$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x)$

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (10)} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{\ln (10)}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{\ln (10)}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (10)} \int x d x)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{\ln (10)}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (10) \cdot 2} \int x d x$

Passaggio 9.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (10)$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \int x d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.1

Riscrivi $\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

$\frac{1}{2}$ e $\log (x)$ .

$\frac{\log (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11.2.2

$\frac{\log (x)}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (10)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (10))} x^{2} + C$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

Passaggio 11.3

$x^{2}$ e $\frac{1}{4 \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (10)} + C$

Passaggio 11.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x \log (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \log (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (10)} x^{2} + C$