Calcolo Esempi

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2} - 4 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x - 4 x}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{1}{x (x - 4)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x - 4)$ .

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (x - 4))}{x (x - 4)} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x - 4)}{x - 4} = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (x - 4))}{x} + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $A (x - 4)$ per $1$ .

$1 = A (x - 4) + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 4 + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.6.3

Sposta $- 4$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A x - 4 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A x - 4 A + \frac{B (x (x - 4))}{x - 4}$

Passaggio 1.1.6.4.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$1 = A x - 4 A + (B) (x)$

$1 = A x - 4 A + B x$

Passaggio 1.1.7

Sposta $- 4 A$ .

$1 = A x + B x - 4 A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 4 A$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

$0 = A + B$

$1 = - 4 A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = - 4 A$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 A = 1$ .

$- 4 A = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 A = 1$ .

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 1.3.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 A}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.1.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 4}$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- \frac{1}{4}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $- \frac{1}{4}$ .

$0 = (- \frac{1}{4}) + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

$0 = - \frac{1}{4} + B$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - \frac{1}{4} + B$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{4} + B = 0$ .

$- \frac{1}{4} + B = 0$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $\frac{1}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = \frac{1}{4} A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{1}{4}, A = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 4}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$- \frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Passaggio 1.5.3

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{1}{4 x} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 4}$

Passaggio 1.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 4}$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{x - 4}$ .

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} + \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{2}^{3} - \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{2}^{3} \frac{1}{4 x} d x + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x) + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} \frac{1}{4 (x - 4)} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{2}^{3} \frac{1}{x - 4} d x$

Passaggio 7

Sia $u = x - 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = x - 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x - 4$ .

$u_{lower} = 2 - 4$

Passaggio 7.3

Sottrai $4$ da $2$ .

$u_{lower} = - 2$

Passaggio 7.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x - 4$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Passaggio 7.5

Sottrai $4$ da $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| x |)]_{2}^{3} + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $\ln (| x |)$ per $3$ e per $2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 2}^{- 1}$

Passaggio 9.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $- 1$ e per $- 2$ .

$- \frac{1}{4} ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Passaggio 9.3

Rimuovi le parentesi.

$- \frac{1}{4} (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{4} \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |}) + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Passaggio 10.2

$\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Passaggio 10.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{1}{4} \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Passaggio 10.4

$\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$ .

$- \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{| 2 |})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Passaggio 11.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})}{4}$

Passaggio 11.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 1$ e $0$ è $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{| - 2 |})}{4}$

Passaggio 11.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $- 2$ e $0$ è $2$ .

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{\ln (\frac{3}{2})}{4} + \frac{\ln (\frac{1}{2})}{4}$

Forma decimale:

$- 0.27465307 \dots$

Passaggio 13