Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} \sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.5

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{\sin (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.7

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{\sin (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\sin (2 + 3 \cdot - 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\sin (2 - 3 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{\sin (- 1 + 1)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.2.8.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Passaggio 1.1.3.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{2} + 3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.11

Somma $4 x + 3$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Passaggio 1.3.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Passaggio 1.3.14

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.15

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $\cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) (4 x + 3)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \cos (2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Passaggio 2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Passaggio 2.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\cos (lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Passaggio 2.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Passaggio 2.5

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} 4 x + 3$

Passaggio 2.8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3)$

Passaggio 2.9

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3)$

Passaggio 2.10

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\cos (2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 lim_{x \to - 1} x + 3)$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\cos (2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\cos (2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\cos (2 + 3 \cdot - 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\cos (2 - 3 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Passaggio 4.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\cos (- 1 + 1) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Passaggio 4.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$\cos (0) \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1 \cdot (4 \cdot - 1 + 3)$

Passaggio 4.5

Moltiplica $4 \cdot - 1 + 3$ per $1$ .

$4 \cdot - 1 + 3$

Passaggio 4.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 + 3$

Passaggio 4.7

Somma $- 4$ e $3$ .

$- 1$