Calcolo Esempi

$\int x \sin (\frac{x}{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 2 u \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int 2 u \sin (u) (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int 2 u \sin (u) \cdot 2 d u$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int 4 u \sin (u) d u$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $u$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int u \sin (u) d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = \sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\int \cos (u) d u$ per $1$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

Passaggio 7

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

Passaggio 8

Riscrivi $4 (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ come $4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ .

$4 (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$\cos (\frac{x}{2})$ e $\frac{x}{2}$ .

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2} + \sin (\frac{x}{2})) + C$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\cos (\frac{x}{2}) x}{2}$ nel numeratore.

$4 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 10.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{- \cos (\frac{x}{2}) x}{2} + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 10.3.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (- \cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 10.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (\cos (\frac{x}{2}) x) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 10.5

Riordina i fattori in $- 2 \cos (\frac{x}{2}) x + 4 \sin (\frac{x}{2})$ .

$- 2 x \cos (\frac{x}{2}) + 4 \sin (\frac{x}{2}) + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$- 2 x \cos (\frac{1}{2} x) + 4 \sin (\frac{1}{2} x) + C$