Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{16 {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}}}{3} d x$

Passaggio 1

Poiché $\frac{16}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{16}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{2} {(3 - 2 x)}^{\frac{5}{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 3 - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 2 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 3 - 2 x$ .

$u_{lower} = 3 - 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$u_{lower} = 3 - 2$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 3 - 2 x$ .

$u_{upper} = 3 - 2 \cdot 2$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$u_{upper} = 3 - 4$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 3.2

$u^{\frac{5}{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16}{3} \int_{1}^{- 1} - \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{16}{3} (- \int_{1}^{- 1} \frac{u^{\frac{5}{3}}}{2} d u)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{16}{3} (- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{16}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{16}{3 \cdot 2} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{16}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $16$ e $6$ .

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Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$- \frac{2 (8)}{6} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Passaggio 6.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Passaggio 6.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8}{3} \int_{1}^{- 1} u^{\frac{5}{3}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{5}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ .

$- \frac{8}{3} \frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}]_{1}^{- 1}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\frac{3}{8} u^{\frac{8}{3}}$ per $- 1$ e per $1$ .

$- \frac{8}{3} ((\frac{3}{8} {(- 1)}^{\frac{8}{3}}) - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Passaggio 8.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{3 (\frac{8}{3})} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Passaggio 8.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} {(- 1)}^{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Passaggio 8.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $8$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} \cdot 1 - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $\frac{3}{8}$ per $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1^{\frac{8}{3}})$

Passaggio 8.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8} \cdot 1)$

Passaggio 8.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{8}{3} (\frac{3}{8} - \frac{3}{8})$

Passaggio 8.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 3}{8}$

Passaggio 8.2.9

Sottrai $3$ da $3$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{8}$

Passaggio 8.2.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $8$ .

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Passaggio 8.2.10.1

Scomponi $8$ da $0$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 (0)}{8}$

Passaggio 8.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.10.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}$

Passaggio 8.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{8}{3} \cdot \frac{0}{1}$

Passaggio 8.2.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{8}{3} \cdot 0$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{8}{3})$

Passaggio 8.2.12

Moltiplica $0$ per $\frac{8}{3}$ .

$0$

Passaggio 9