Calcolo Esempi

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 1.3.2

$e^{\frac{1}{x}}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}] + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \frac{x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{x^{2} (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.6.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$- \frac{x^{- 2} x^{2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{x^{- 2 + 2} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.6.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$- \frac{x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.7.1

Semplifica $x^{0} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1))$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.7.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ come $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}} (2 x)}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Moltiplica $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ per $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}} + 0$

Passaggio 2.11.2

Somma $- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$ e $0$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x}{x^{4}}$

Passaggio 2.12

Semplifica.

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Passaggio 2.12.1

Riordina i fattori in $- e^{\frac{1}{x}} - 2 e^{\frac{1}{x}} x$ .

$- \frac{- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.2

Scomponi $e^{\frac{1}{x}}$ da $- e^{\frac{1}{x}} - 2 x e^{\frac{1}{x}}$ .

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Passaggio 2.12.2.1

Scomponi $e^{\frac{1}{x}}$ da $- e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 - 2 x e^{\frac{1}{x}}}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.2.2

Scomponi $e^{\frac{1}{x}}$ da $- 2 x e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.2.3

Scomponi $e^{\frac{1}{x}}$ da $e^{\frac{1}{x}} \cdot - 1 + e^{\frac{1}{x}} (- 2 x)$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 - 2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - 2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1) - (2 x))}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (2 x)$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}} (- 1 (1 + 2 x))}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.12.8

Moltiplica $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$ .

$\frac{e^{\frac{1}{x}} (1 + 2 x)}{x^{4}}$