Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x}}$

Passaggio 4

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$5 \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 5.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 5.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$5 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$5 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 5.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{x}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}}$

Passaggio 7

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 7.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 7.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$5 \cdot 4 \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 7.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 7.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 7.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 7.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 7.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 7.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x}}$

Passaggio 8

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Passaggio 9

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 9.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 9.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 9.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 9.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 9.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 9.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 9.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Passaggio 10

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 11

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 11.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 11.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 11.1.3

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 11.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 11.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 11.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 11.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 11.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 12

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{x}}$ tende a $0$ .

$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Passaggio 13

Moltiplica $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$ .

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Passaggio 13.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Passaggio 13.2

Moltiplica $20$ per $3$ .

$60 \cdot 2 \cdot 0$

Passaggio 13.3

Moltiplica $60$ per $2$ .

$120 \cdot 0$

Passaggio 13.4

Moltiplica $120$ per $0$ .

$0$