Calcolo Esempi

$y = - \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{5}{3} x^{4} + \frac{1}{4} x^{5} + \frac{4}{15}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{3} x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.2.4

$- 4$ e $\frac{5}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$\frac{- 20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.2.6

$\frac{- 20}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{5}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.3.3

$5$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.3.4

$\frac{5}{4}$ e $x^{4}$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{15}]$

Passaggio 1.4

Poiché $\frac{4}{15}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{15}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4} + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Somma $- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$ e $0$ .

$- \frac{20 x^{3}}{3} + \frac{5 x^{4}}{4}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{20 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{5}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{4}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2.3

$4$ e $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2.5

$\frac{20}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $20$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $4$ da $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.2.6.2.4

Dividi $5 x^{3}$ per $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{20 x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{20}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{20 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{3} - \frac{20}{3} (3 x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$5 x^{3} - 3 (\frac{20}{3}) x^{2}$

Passaggio 2.3.4

$- 3$ e $\frac{20}{3}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 20}{3} x^{2}$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 3$ per $20$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60}{3} x^{2}$

Passaggio 2.3.6

$\frac{- 60}{3}$ e $x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{- 60 x^{2}}{3}$

Passaggio 2.3.7

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $3$ .

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Passaggio 2.3.7.1

Scomponi $3$ da $- 60 x^{2}$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3}$

Passaggio 2.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 (1)}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 x^{3} + \frac{3 (- 20 x^{2})}{3 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 x^{3} + \frac{- 20 x^{2}}{1}$

Passaggio 2.3.7.2.4

Dividi $- 20 x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 5 x^{3} - 20 x^{2}$