Calcolo Esempi

$e^{- 2 x} + 2 x$

Passaggio 1

Scrivi $e^{- 2 x} + 2 x$ come funzione.

$f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{- 2 x} + 2 x d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{- 2 x} d x + \int 2 x d x$

Passaggio 5

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u + \int 2 x d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + \int 2 x d x$

Passaggio 6.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 x d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 2 x d x$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 x d x$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int x d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 12.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} e^{u} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Passaggio 12.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} e^{u} + 1 x^{2} + C$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u} + x^{2} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$

Passaggio 14

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{- 2 x} + 2 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} + x^{2} + C$