Calcolo Esempi

$\log (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.3

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (2 x + 0)$

Passaggio 2.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} (2 x)$

Passaggio 2.4.2

$2$ e $\frac{1}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)}$ .

$\frac{2}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)} x$

Passaggio 2.4.3

$\frac{2}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} + y^{2}) \ln (10)}$

Passaggio 2.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (10) + y^{2} \ln (10)}$