Calcolo Esempi

$x^{2} + y^{2} = 2 x + y + 15$ ;, $(- 3, 1)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x + y + 15)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Passaggio 2.3

Riordina i termini.

$2 y y' + 2 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + y + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 + y' + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 3.4

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + y' + 0$

Passaggio 3.5

Somma $2 + y'$ e $0$ .

$2 + y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 2 x = 2 + y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' + 2 x - y' = 2$

Passaggio 5.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' - y' = 2 - 2 x$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $2 y y' - y'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (2 y) - y' = 2 - 2 x$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 - 2 x$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$

Passaggio 5.4

Dividi per $2 y - 1$ ciascun termine in $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $2 y - 1$ ciascun termine in $y' (2 y - 1) = 2 - 2 x$ .

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2}{2 y - 1} + \frac{- 2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{2}{2 y - 1} - \frac{2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 5.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 - 2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 5.4.3.3

Scomponi $2$ da $2 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y' = \frac{2 (1) - 2 x}{2 y - 1}$

Passaggio 5.4.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (1) + 2 (- x)}{2 y - 1}$

Passaggio 5.4.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- x)$ .

$y' = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - x)}{2 y - 1}$

Passaggio 7

Sostituisci $x$ con $- 3$ e $y$ con $1$ nell'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 - (- 3))}{2 (1) - 1}$

Passaggio 8

Semplifica il risultato.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{2 (1 + 3)}{2 (1) - 1}$

Passaggio 8.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1) - 1}$

Passaggio 8.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 - 1}$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{1}$

Passaggio 8.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8}{1}$

Passaggio 8.3.2

Dividi $8$ per $1$ .

$8$