Calcolo Esempi

$\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ come funzione.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)} d x$

Passaggio 4

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} d u$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $u^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{5 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\int u^{- 5} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 5}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi $- \frac{1}{4} u^{- 4} + C$ come $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{4}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{u^{4} \cdot 4} + C$

Passaggio 7.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u^{4}$ .

$- \frac{1}{4 u^{4}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{4 \sin^{4} (x)} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Moltiplica per $1$ .

$- \frac{1}{4 (\sin^{4} (x) \cdot 1)} + C$

Passaggio 9.2

Frazioni separate.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{4} (x)}) + C$

Passaggio 9.3

Converti da $\frac{1}{\sin^{4} (x)}$ a $\csc^{4} (x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \csc^{4} (x)) + C$

Passaggio 9.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- (\frac{1}{4} \csc^{4} (x)) + C$

Passaggio 9.5

$\frac{1}{4}$ e $\csc^{4} (x)$ .

$- \frac{\csc^{4} (x)}{4} + C$

Passaggio 9.6

Riordina i termini.

$- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{\cos (x)}{\sin^{5} (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \csc^{4} (x) + C$