Calcolo Esempi

$\ln (\frac{2}{x^{2}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{2}{x^{2}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{2}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{2}{x^{2}}$ .

$1 \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 5.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 5.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$x^{2} (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 7

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- 3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1

Sposta $x^{- 3}$ .

$x^{- 3} x^{2} \cdot - 2$

Passaggio 7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{- 3 + 2} \cdot - 2$

Passaggio 7.3

Somma $- 3$ e $2$ .

$x^{- 1} \cdot - 2$

Passaggio 8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{- 1}$ .

$- 2 \cdot x^{- 1}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Passaggio 9.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 9.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Passaggio 9.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x}$