Calcolo Esempi

$\frac{e^{- x}}{- 3 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{3 x}]$

Passaggio 1.2

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{e^{- x}}{3 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x} \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 4.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{x^{2} \cdot 3}$

Passaggio 4.5.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$- \frac{x (- e^{- x}) - e^{- x}}{3 \cdot x^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{- x e^{- x} - e^{- x}}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.2

Scomponi $e^{- x}$ da $- x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $e^{- x}$ da $- x e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x} (- x) - e^{- x}}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $e^{- x}$ da $- e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$- \frac{e^{- x} (- x - 1)}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1)}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- \frac{e^{- x} (- (x) - 1 (1))}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{e^{- x} (- (x + 1))}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{e^{- x} (- 1 (x + 1))}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$

Passaggio 5.9

Moltiplica $\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{e^{- x} (x + 1)}{3 x^{2}}$