Calcolo Esempi

$\int_{0}^{k} \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \ln (4)$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} + 4$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 4$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $4$ .

$u_{lower} = 4$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} + 4$ .

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Passaggio 1.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = k^{2} + 4$

Passaggio 1.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{k^{2} + 4} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{k^{2} + 4}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $k^{2} + 4$ e per $4$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| k^{2} + 4 |) - \ln (| 4 |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{| 4 |})}{2}$

Passaggio 7

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{| 4 |} | k^{2} + 4 |)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{4} | k^{2} + 4 |)$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{4}$ e $| k^{2} + 4 |$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})$ .

$\frac{\ln (\frac{| k^{2} + 4 |}{4})}{2}$