Calcolo Esempi

$y (x) = e^{x^{3} - 8}$ , $x = 2$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 8$ .

$e^{x^{3} - 8} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$e^{x^{3} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2} + 0)$

Passaggio 1.2.4

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $e^{x^{3} - 8} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$

Passaggio 1.3.2

Riordina i fattori in $3 e^{x^{3} - 8} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3} - 8}$

Passaggio 2

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$y' (2) = 3 {(2)}^{2} e^{{(2)}^{3} - 8}$

Passaggio 3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y' (2) = 3 \cdot (4 e^{{(2)}^{3} - 8})$

Passaggio 4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$y' (2) = 12 e^{{(2)}^{3} - 8}$

Passaggio 5

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$y' (2) = 12 e^{8 - 8}$

Passaggio 6

Sottrai $8$ da $8$ .

$y' (2) = 12 e^{0}$

Passaggio 7

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$y' (2) = 12 \cdot 1$

Passaggio 8

Moltiplica $12$ per $1$ .

$y' (2) = 12$