Calcolo Esempi

$\int (5 x - 1) \sqrt{x} d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (5 x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2

Espandi $(5 x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 5 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 5 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 5 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 5 x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.6

Somma $2$ e $1$ .

$\int 5 x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

$5 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3

Elimina il fattore comune di $10$ e $5$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$