Calcolo Esempi

$a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x = 12$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x) = \frac{d}{d x} (12)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x^{5} + x^{3} y - y^{2} x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [a x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x^{5}$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$a (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Passaggio 2.2.3

Sposta $5$ alla sinistra di $a$ .

$5 a x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Passaggio 2.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2} x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{2} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2} x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{2} x]$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{2} x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = y^{2}$ e $g (x) = x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.4.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.4.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} \cdot 1 + x (2 y y'))$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + x (2 y y'))$

Passaggio 2.4.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - (y^{2} + 2 x y y')$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - (2 x y y')$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 a x^{4} + x^{3} y' + 3 y x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y'$

Passaggio 3

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y^{2} + 5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{4} a + x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $5 x^{4} a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a$

Passaggio 5.1.3

Sottrai $3 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} y' - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.2

Scomponi $x y'$ da $x^{3} y' - 2 x y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x y'$ da $x^{3} y'$ .

$x y' x^{2} - 2 x y y' = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x y'$ da $- 2 x y y'$ .

$x y' x^{2} + x y' (- 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x y'$ da $x y' x^{2} + x y' (- 2 y)$ .

$x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x (x^{2} - 2 y)$ ciascun termine in $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $x (x^{2} - 2 y)$ ciascun termine in $x y' (x^{2} - 2 y) = y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y$ .

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (x^{2} - 2 y)}{x (x^{2} - 2 y)} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} - 2 y)}{x^{2} - 2 y} = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Scomponi $x$ da $- 5 x^{4} a$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{x (- 5 x^{3} a)}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} + \frac{- 5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{(5) x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{x (- 3 x y)}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} + \frac{- 3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Per scrivere $- \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x^{2} - 2 y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica $\frac{5 x^{3} a}{x^{2} - 2 y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{(x^{2} - 2 y) x} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riordina i fattori di $(x^{2} - 2 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{3} a x}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{1 + 3} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.5.3

Somma $1$ e $3$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$

Passaggio 5.3.3.6

Per scrivere $- \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y}{x^{2} - 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 5.3.3.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x^{2} - 2 y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.7.1

Moltiplica $\frac{3 x y}{x^{2} - 2 y}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{(x^{2} - 2 y) x}$

Passaggio 5.3.3.7.2

Riordina i fattori di $(x^{2} - 2 y) x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a}{x (x^{2} - 2 y)} - \frac{3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x y x}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.9

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.9.1

Sposta $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 (x \cdot x) y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 5.3.3.9.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y' = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 5 x^{4} a - 3 x^{2} y}{x (x^{2} - 2 y)}$