Calcolo Esempi

$\cos (x + y) = y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + y$ .

$- \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (x + y) (1 + y')$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $- \sin (x + y) (1 + y')$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 - \sin (x + y) (1 + y') = y'$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$- \sin (x + y) (1 + y') = y'$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' = y'$

Passaggio 5.1.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' = y'$

Passaggio 5.1.1.4.2

Riordina i fattori in $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y'$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) = y'$

Passaggio 5.2

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) - y' = 0$

Passaggio 5.3

Somma $\sin (x + y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y' \sin (x + y) - y' = \sin (x + y)$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $- y' \sin (x + y) - y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $- y' \sin (x + y)$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) - y' = \sin (x + y)$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (- 1 \sin (x + y)) + y' \cdot - 1 = \sin (x + y)$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 \sin (x + y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 1 \sin (x + y) - 1) = \sin (x + y)$

Passaggio 5.5

Riscrivi $- 1 \sin (x + y)$ come $- \sin (x + y)$ .

$y' (- \sin (x + y) - 1) = \sin (x + y)$

Passaggio 5.6

Dividi per $- \sin (x + y) - 1$ ciascun termine in $y' (- \sin (x + y) - 1) = \sin (x + y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.1

Dividi per $- \sin (x + y) - 1$ ciascun termine in $y' (- \sin (x + y) - 1) = \sin (x + y)$ .

$\frac{y' (- \sin (x + y) - 1)}{- \sin (x + y) - 1} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - 1}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $- \sin (x + y) - 1$ .

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Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- \sin (x + y) - 1)}{- \sin (x + y) - 1} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - 1}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y) - 1}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.3.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x + y) - 1$ .

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Passaggio 5.6.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x + y)$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - 1}$

Passaggio 5.6.3.1.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y)) - 1 (1)}$

Passaggio 5.6.3.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (\sin (x + y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- (\sin (x + y) + 1)}$

Passaggio 5.6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{\sin (x + y)}{\sin (x + y) + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x + y)}{\sin (x + y) + 1}$