Calcolo Esempi

$\int 4 x e^{2 x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = 4 x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$4 x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$4 x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Passaggio 2.2

$4$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x \frac{4 e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Passaggio 2.3

$x$ e $\frac{4 e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x (4 e^{2 x})}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi $2$ da $x (4 e^{2 x})$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Passaggio 2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 (1)} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 \cdot 1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Passaggio 2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (2 e^{2 x})}{1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Passaggio 2.4.2.4

Dividi $x (2 e^{2 x})$ per $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2} \cdot 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2} \cdot 4$ fuori dall'integrale.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} d x)$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{2 x} d x)$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{2 x} d x)$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{2 x} d x)$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2}{1} \int e^{2 x} d x)$

Passaggio 4.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - (2 \int e^{2 x} d x)$

Passaggio 4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{2 x} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x (2 e^{2 x}) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int e^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$

Passaggio 10

Riscrivi $x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$ come $2 x e^{2 x} - e^{u} + C$ .

$2 x e^{2 x} - e^{u} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$