Calcolo Esempi

$y = 2 \sqrt{6 x^{2} - 8 x + 5}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 x^{2} - 8 x + 5}$ come ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 6 x^{2} - 8 x + 5$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x^{2} - 8 x + 5$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x^{2} - 8 x + 5$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.7

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5])$

Passaggio 4.7.4

$\frac{1}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

Passaggio 4.7.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 {(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

Passaggio 4.7.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 8 x + 5]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 8 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.9

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.11

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.12

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.14

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 4.15

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8 + 0)$

Passaggio 4.16

Somma $12 x - 8$ e $0$ .

$\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8)$

Passaggio 4.17

Semplifica.

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Passaggio 4.17.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (12 x - 8)$ .

$(12 x - 8) \frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.2

Moltiplica $12 x - 8$ per $\frac{1}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{12 x - 8}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.3

Scomponi $4$ da $12 x - 8$ .

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Passaggio 4.17.3.1

Scomponi $4$ da $12 x$ .

$\frac{4 (3 x) - 8}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.3.2

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$\frac{4 (3 x) + 4 (- 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.3.3

Scomponi $4$ da $4 (3 x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 x - 2)}{{(6 x^{2} - 8 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$