Calcolo Esempi

$y = x y^{2} + 4 x - y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} + 4 x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $y'$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti $y'$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $y'$ da $- y'$ .

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

Passaggio 5.4

Scomponi $2 y'$ da $2 x y y' - 2 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $2 y'$ da $2 x y y'$ .

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $2 y'$ da $- 2 y'$ .

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

Passaggio 5.5

Dividi per $2 (x y - 1)$ ciascun termine in $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $2 (x y - 1)$ ciascun termine in $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ .

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $x y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

Passaggio 5.5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

Passaggio 5.5.3.2

Per scrivere $- \frac{2}{x y - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.5.3.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 (x y - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.3.1

Moltiplica $\frac{2}{x y - 1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

Passaggio 5.5.3.3.2

Riordina i fattori di $(x y - 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.6

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.7

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2}) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.3.9.1

Riscrivi $- (y^{2} + 4)$ come $- 1 (y^{2} + 4)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 5.5.3.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$