Calcolo Esempi

$y = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{4 π}{3}$ e $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (\frac{4 π x}{3})]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (\frac{4 π x}{3})$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\frac{4 π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 π x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (\frac{4 π x}{3}) (\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

$\frac{4 π}{3}$ e $4$ .

$\frac{4 π \cdot 4}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{16 π}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.3

$\frac{16 π}{3}$ e $\cos (\frac{4 π x}{3})$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot 1$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ per $1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{16 π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{16 π}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{4 π x}{3})]$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{4 π x}{3}))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{4 π x}{3}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

$\frac{16 π}{3}$ e $\sin (\frac{4 π x}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3}$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{4 π}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 π x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{4 π}{3}$ per $\frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 π (16 π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $16$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π (π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{1 + 1} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot 1$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} = 0$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $16 π$ ciascun termine in $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $16 π$ ciascun termine in $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Dividi $\cos (\frac{4 π x}{3})$ per $1$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{16 π}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.1

Scomponi $16$ da $0$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1.2.1

Scomponi $16$ da $16 π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 (π)}$

Passaggio 5.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 \cdot 0}{16 π}$

Passaggio 5.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{π}$

Passaggio 5.1.3.2

Dividi $0$ per $π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Semplifica $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1.2.1

Scomponi $4 π$ da $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Semplifica $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1.1

Scomponi $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Passaggio 5.5.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.1.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{3}{8}$

Passaggio 5.6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1

Semplifica $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1.1.2.1

Scomponi $4 π$ da $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Semplifica $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.2.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Passaggio 5.7.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.4.1.1

Scomponi $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.4.1.2

Scomponi $π$ da $3 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.4.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.4.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{3}{2}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.4.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1.4.3.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x = \frac{9}{4 \cdot 2}$

Passaggio 5.7.2.2.1.4.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{9}{8}$

Passaggio 5.8

La soluzione dell'equazione $\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3}{8}, \frac{9}{8}$

Passaggio 6

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{3}{8})}{3})}{9}$

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

$\frac{3}{8}$ e $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Passaggio 7.1.2

$\frac{3 \cdot 4}{8}$ e $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Passaggio 7.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{12 π}{8}}{3})}{9}$

Passaggio 7.2.2

Riduci l'espressione $\frac{12 π}{8}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $4$ da $12 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{8}}{3})}{9}$

Passaggio 7.2.2.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Passaggio 7.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Passaggio 7.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 7.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 7.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Passaggio 7.3.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot 1}{9}$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $64$ per $1$ .

$- \frac{64 π^{2}}{9}$

Passaggio 8

$x = \frac{3}{8}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3}{8}$ è un massimo locale

Passaggio 9

Trova il valore di y quando $x = \frac{3}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{3}{8}))$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{8})$

Passaggio 9.2.1.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{4 (2)})$

Passaggio 9.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2})$

Passaggio 9.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Passaggio 9.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 9.2.3

$π$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.2.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \cdot 1$

Passaggio 9.2.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4$

Passaggio 9.2.6

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{9}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{9}{8})}{3})}{9}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

$\frac{9}{8}$ e $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Passaggio 11.1.2

$\frac{9 \cdot 4}{8}$ e $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Passaggio 11.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $9$ per $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{36 π}{8}}{3})}{9}$

Passaggio 11.2.2

Riduci l'espressione $\frac{36 π}{8}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scomponi $4$ da $36 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{8}}{3})}{9}$

Passaggio 11.2.2.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Passaggio 11.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Passaggio 11.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Passaggio 11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Passaggio 11.3.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \frac{64 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Passaggio 11.3.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{64 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Passaggio 11.3.6

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$- \frac{- 64 π^{2}}{9}$

Passaggio 11.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$

Passaggio 11.5

Moltiplica $- - \frac{64 π^{2}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{64 π^{2}}{9}$

Passaggio 11.5.2

Moltiplica $\frac{64 π^{2}}{9}$ per $1$ .

$\frac{64 π^{2}}{9}$

Passaggio 12

$x = \frac{9}{8}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{9}{8}$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{9}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{9}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{9}{8}))$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{8})$

Passaggio 13.2.1.2

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{4 (2)})$

Passaggio 13.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{9}{4 \cdot 2})$

Passaggio 13.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{9}{2})$

Passaggio 13.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (3)}{2})$

Passaggio 13.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2})$

Passaggio 13.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{3}{2})$

Passaggio 13.2.3

$π$ e $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Passaggio 13.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Passaggio 13.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 13.2.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 13.2.7

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \cdot - 1$

Passaggio 13.2.7.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{9}{8}) = - 4$

Passaggio 13.2.8

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 14

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$ .

$(\frac{3}{8}, 4)$ è un massimo locale

$(\frac{9}{8}, - 4)$ è un minimo locale

Passaggio 15