Calcolo Esempi

$y = 5 \sqrt[3]{- 9 x - 1}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{- 9 x - 1}$ come ${(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = 5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [{(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = - 9 x - 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 9 x - 1$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 9 x - 1$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{3}$ e ${(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{{(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Passaggio 4.7.4

$\frac{1}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $5$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 9 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.9

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.11

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 + 0)$

Passaggio 4.13

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.13.1

Somma $- 9$ e $0$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 9$

Passaggio 4.13.2

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $- 9$ .

$\frac{5 \cdot - 9}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.13.3

Moltiplica $5$ per $- 9$ .

$\frac{- 45}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.13.4

Scomponi $3$ da $- 45$ .

$\frac{3 \cdot - 15}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.14.1

Scomponi $3$ da $3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 15}{3 ({(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 4.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 15}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$