Calcolo Esempi

$\sqrt[3]{x} (x - 4)$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt[3]{x} (x - 4)$ come funzione.

$f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x} (x - 4) d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x - 4$ e $d v = \sqrt[3]{x}$ .

$(x - 4) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{3}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 5.2

$\frac{3}{4}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ come $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$\frac{3}{7}$ e $x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{7 \cdot 4} + C$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $7$ per $4$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Passaggio 8.2.5

Per scrivere $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Passaggio 8.2.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $28$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.2.6.1

Moltiplica $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ per $\frac{7}{7}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{4 \cdot 7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Passaggio 8.2.6.2

Moltiplica $4$ per $7$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{28} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Passaggio 8.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7 - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Passaggio 8.2.8

Moltiplica $7$ per $3$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{21 x^{\frac{7}{3}} - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Passaggio 8.2.9

Sottrai $9 x^{\frac{7}{3}}$ da $21 x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{12 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Passaggio 8.2.10

Scomponi $4$ da $12 x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{28} + C$

Passaggio 8.2.11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.2.11.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 (7)} + C$

Passaggio 8.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7} + C$

Passaggio 8.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Passaggio 8.3

Riordina i termini.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$ .

$F (x) =$ $- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$