Calcolo Esempi

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ come funzione.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Passaggio 4

Sia $x = 3 \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \tan (t)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $9$ da $9 \tan^{2} (t) + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $9$ da $9 \tan^{2} (t)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.2.2

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.2.3

Scomponi $9$ da $9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi $9 \sec^{2} (t)$ come ${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3$ da $3 \tan (t)$ .

$\int {(3 (\tan (t)))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 (\tan (t))$ .

$\int 3^{3} \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\int 27 \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica $3$ per $27$ .

$\int 81 \tan^{3} (t) \sec (t) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $3$ per $81$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Sposta $\sec^{2} (t)$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 5.2.6.2

Moltiplica $\sec^{2} (t)$ per $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.2.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Passaggio 5.2.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 243 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Passaggio 5.2.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 6

Poiché $243$ è costante rispetto a $t$ , sposta $243$ fuori dall'integrale.

$243 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 7

Metti in evidenza $\tan^{2} (t)$ .

$243 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 8

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$243 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 9

Sia $u = \sec (t)$ . Allora $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sia $u = \sec (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Differenzia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Passaggio 9.1.2

La derivata di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Passaggio 9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$243 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 10

Moltiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$243 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riscrivi $- 1 u^{2}$ come $- u^{2}$ .

$243 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 11.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$243 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 11.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$243 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$243 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$243 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Passaggio 14

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Passaggio 15

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Passaggio 16.1.2

$\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Passaggio 16.2

Semplifica.

$243 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (t)$ .

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{3})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 18

Riordina i termini.

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$

Passaggio 19

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$F (x) =$ $243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$